一、 案例背景
通過設計“嘉興南湖湖面有多大”、“某一時間段內高鐵行經的路程如何求”兩個紅色主題案例吸引學生的興趣，讓學生關注身旁的紅色元素和新時代的科技進步，激發學生的愛國情懷和民族自豪感。
1.作為嘉興的在校大學生，肯定知道南湖，甚至不止一次去過南湖。嘉興南湖是中國共產黨的誕生地，是紅船精神的發源地。自然地，學生會問南湖有多大？南湖湖面并不是一個規則圖形，其邊界又不是直線，但通過分割，可以將其分解成若干矩形和曲邊梯形（梯形中的斜邊換成曲線）。所以，只要求出曲邊梯形的面積就可以計算出南湖的具體面積。
2.現在高鐵出行習以為常。我國的高鐵已處于世界領先水平，運營里程突破4萬公里，穩居世界第一。坐高鐵時經常會看到車廂里顯示的車速不規律地變來變去。想知道某時間段內經過的路程該怎么求呢？即，如何求一段時間內變速直線運動的路程。
二、主要做法
通過整體教學設計、本節課知識點、三維教學目標、問題引入、問題求解、問題提煉、形成概念，開展課堂教學，講解定積分的概念，感悟思政元素、感受科學精神。
1. 教學過程設計
（1）通過播放南湖的圖片和小視頻，讓學生看到南湖的全貌。問學生覺得南湖大不大，引導學生思考，激發學習興趣。
（2）通過分析，將南湖的面積歸結為求曲邊梯形的面積，培養學生的分析問題的能力。在求解曲邊梯形面積的過程中，培養學生“化整為零”、“以直代曲”、“積零成整”等數學思維，并介紹劉徽的“割圓法”，增強學生的文化自信。
（3）問學生是否有坐高鐵看到車內顯示速度的經歷，并播放相關視頻，提升課堂樂趣，并介紹我國高鐵發展情況，激發學生的民族自豪感。拋出路程問題，引發學生思考，并提示解決問題。
（4）提煉兩個案例的共同點，得出定積分的概念，培養學生數學歸納能力。
（5）總結本課所學的數學方法及課程思政感悟：分割近似再求和，所得結果欠精確。堅定理想取極限，積微成著把夢圓。
2. 知識點及教學目標
（1）知識點
定積分概念提出的背景、方法及其應用。
（2）三維教學目標
? 知識與技能：了解定積分概念提出的幾何背景和物理背景，體會“化整為零”、“以直代曲”（以常代變）、“無限逼近”的數學思想。
? 過程與方法：通過學生熟悉的案例，引出曲邊圖形的面積和變速直線運動的路程問題，讓學生了解定積分概念的來源和現實中的簡單應用。
? 情感態度與價值觀：通過南湖面積和高鐵路程問題的引入，學生能夠聯想到南湖是中國革命紅船起航地，高鐵是我們的國之重器，激發學生的愛國情懷和民族自豪感。
3. 問題引入
（1）如何求曲邊梯形的面積？
“化繁為簡，化未知為已知”是最主要的數學思想。如果將曲線變成直線就好了。直接“以直代曲”顯然誤差很大，即曲線越小替換成直線就越精確。因此，通過分割，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當分割越細，所得的近似值越接近準確值，正如我國魏晉時期偉大的數學家劉徽說得那樣“割之彌細，所失彌少”。故，當每個小曲邊梯形的寬度趨于0時就得到其準確值。最后通過求小矩形面積之和的極限，得到曲邊梯形得面積。
（2）如何求變速直線運動的路程？
類似上例，將整個時間段分成若干小時間段，每段時間內近似看成勻速直線運動，將這些小時間段加起來，并讓每個時間間隔都趨于0，就得到所經過的路程。
4. 問題求解
（1）設曲邊梯形是由曲線
,以及
軸所圍成的，求其面積，這里不妨假設
第一步：分割。把區間
分成
份；第
份的長度記為
，也就是把曲邊梯形分成了
個很小的曲邊梯形。
第二步：近似。把個小曲邊梯形近似看成一個小矩形，第
個小曲邊梯形的面積
就近似的表示成一個小矩形的面積，不失一般性，小矩形的長取
和
之間的任意一點
對應的函數值
來表示，于是
。
第三步：求和。整個曲邊梯形的面積就是這
個小曲邊梯形的面積之和，故
。
第四步：取極限。 要取到精確值，必須讓每一小塊非常接近矩形，也就是每個
都要趨于
。為此，只需這
個
中最大趨于
，記
，于是就得到了原曲邊梯形的面積精確值，即
。
（2）設
到
時刻內的速度為
，求這段時間經過的路程
。
第一步：分割。把區間
分成
份；第
份的時長為
。
第二步：近似。把個小時段近似看成勻速直線運動，第
個時段經過的路程
，其中
。
第三步：求和。 整段時間內經過的路程近似為
。
第四步：取極限。記
，故
。
5. 問題提煉
上述兩例，分別是幾何問題和物理問題。雖然它們各屬不同學科，但解決問題的思想和方法是一樣的，把整體問題通過“化整為零”、“以直代曲”（或“以常代變”），再“積零為整”。即分割，近似，求和，取極限。拋開這些問題的具體背景，將此類問題的共性提煉出來，定義了求一種特定和式極限的重要數學工具──定積分。
定義：設函數
在區間
上連續，在
內任意插入
個分點
，把區間分成
個小區間
，且每個小區間的長為
，其中
。在每個小區間
上任取一點
，作和式
，若不論對
怎樣分法，也不論
如何取法，只要當
時，上述和式的極限總趨于一個確定的值
,即
，則稱
在區間
上可積，并將這個極限值
稱為函數
在區間
上的定積分，記作
。
三、主要成效
通過對曲邊梯形面積和變速直線運動路程問題的介紹，理解了定積分的概念，體會了數學思維方法在解決現實問題的應用，了解了中國古代數學的杰出貢獻，領悟了數學發展過程中蘊含的處世哲理，激發了勇于擔當的時代責任感。
四、反思探討
今天所介紹的兩個案例，通過化整為零，先得到近似值，然后逐步逼近，最終求得精確值。生活中，我們要學會“化整為零”，將遇到的大困難分解成一些小困難，個個擊破。雖然不能直接到達目的地，但積微成著，逐步接近夢想，才能最終達到理想的彼岸。
經過眾多科學家的不懈努力，中國高鐵等高科技已經世界領先。作為新時代的大學生，要努力增強自身建設中國式現代化強國的科學素養和專業本領，勇擔時代重托和復興重任。
五、相關思政元素
堅定理想、百折不撓、文化自信、民族自豪感、真知、強能
